13.05.05.02- Arquimedes

A Era da Sabedoria
11 de outubro de 2018 Pamam

Arquimedes encarnou no ano 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, a denominada Magna Grécia, cuja data é baseada em uma afirmação do historiador grego bizantino João Tzetzes, de que ele viveu setenta e cinco anos, e desencarnou no ano 212 a.C., no mesmo local. Foi um engenheiro, físico, matemático, astrônomo e um grande inventor, sendo considerado o principal cientista da antiguidade clássica. Em sua obra intitulada de O Contador de Areia, Arquimedes conta que era filho de Fídias, um astrônomo sobre quem nada se sabe atualmente. Em sua obra intitulada de Vidas Paralelas, Plutarco conta que Arquimedes era parente do rei Hierão II, o mais esclarecido chefe de Estado da época, ao que parece sobrinho. Uma biografia de Arquimedes foi escrita pelo seu amigo Heráclides, mas esse trabalho foi perdido, deixando detalhes da sua vida obscuros. É desconhecido, por exemplo, se ele se casou ou se teve filhos.

Como muitos outros gregos helenísticos que se mostravam interessados na ciência e dispunham de recursos, Arquimedes partiu para Alexandria, onde lá estudou com os sucessores de Euclides e sorveu a inspiração para a Matemática. Voltando para Siracusa, dedicou-se com ardor a todos os ramos da parcela do Saber denominada de Matemática. Frequentemente se esquecia de comer e beber, ou mesmo de outros cuidados do corpo, quando na busca das consequências de um novo teorema, ou traçava figuras nas cinzas da lareira, ou na areia com que os geômetras gregos costumavam cobrir o chão das suas salas de trabalho.

Era dotado de um bom senso de humor, o que comprova a sua obra intitulada de A Esfera e o Cilindro, que ele considerava o seu melhor livro, em que estavam incluídas falsas proposições, em parte para pregar uma peça aos amigos aos quais ele enviou o manuscrito, em parte como arapuca aos espertalhões que gostam de se apoderar das ideias alheias. Às vezes, divertia-se a si próprio com quebra-cabeças que o levavam à beira da invenção da álgebra, como o famoso Problema Bovino, que tanto agradava a Lessing. Às vezes, construía estranhos mecanismos a fim de estudar os princípios segundo os quais eles operavam, para a partir dessas experiências físicas poder registrar as suas teorias “a posteriori”.

Mas o seu mais constante interesse e prazer residia na ciência pura, concebida mais como instrumento de construção prática, do que como chave para a compreensão do Universo, visto que ele era um cientista e não um saperólogo. Por isso, ele não escrevia para alunos, mas para outros cientistas profissionais, comunicando-lhes em enérgicas monografias as conclusões das suas pesquisas, por certo que de difícil compreensão. Mas, mesmo assim, toda a antiguidade se deixou fascinar pela originalidade, profundidade e clareza desses tratados. Tanto isso é verdade, que três séculos depois, sobre o fato Plutarco assim se expressou:

Não é possível encontrar em toda a geometria questões mais difíceis e intrincadas, ou explicações mais simples e lúcidas. Alguns as atribui ao seu gênio natural, outros julgam que aquela facilidade é a resultante de um incrível esforço e trabalho”.

Arquimedes desencarnou durante a Segunda Guerra Púnica, quando as forças romanas, sob o comando do general Marco Cláudio Marcelo, capturaram a cidade de Siracusa, após um cerco de dois anos. Existem duas versões sobre a sua desencarnação, que são as seguintes:

  1. Conforme o relato fornecido por Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático traçado na areia quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer o general Marco Cláudio Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que tinha que terminar de trabalhar um problema, ao mesmo tempo em que solicitava ao soldado que esperasse um pouco. Entretanto, insensível ao pedido do cientista, o soldado ficou furioso com isso e o desencarnou com a sua espada. As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são: “Não perturbe os meus círculos”; uma referência aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando perturbado pelo soldado romano. Mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e elas não aparecem no relato fornecido por Plutarco;
  2. Plutarco fornece também um relato menos conhecido da desencarnação de Arquimedes, o qual sugere que ele pode ter sido desencarnado enquanto tentava se render a um soldado romano. De acordo com esse relato, Arquimedes estava carregando instrumentos matemáticos e foi desencarnado porque o soldado, em sua supina ignorância, pensou que fossem itens valiosos.

Para aqueles que são céticos em relação à evolução espiritual, basta apenas observar o espírito de Arquimedes em relação ao espírito do soldado. Quanta diferença evolutiva!

O general Marco Cláudio Marcelo ficou deveras irritado com a desencarnação do cientista, haja visto que o considerava uma posse científica valiosa, por isso havia ordenado anteriormente que ele não fosse ferido.

No ano 75 a.C., o saperólogo romano Cícero, seguidor do Ecletismo, estava trabalhando como questor na Sicília. Ele tinha ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de lhe dar a localização exata do túmulo. Após algum tempo, ele encontrou o túmulo próximo ao Portão de Agrigentino, em Siracusa, o qual estava em condições negligenciadas e coberto de arbustos. Cícero limpou o túmulo e foi capaz de ver a escultura que ali se encontrava e ler alguns versos que haviam sido adicionados como inscrição.

As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico, o dialeto falado na antiga Siracusa, as quais não foram tão bem conservadas quanto as de Euclides, mas se sabe da existência de sete dos seus tratados através de referências feitas a eles por outros autores, que são os seguintes:

O MÉTODO

  • Que explica a Eratóstenes, com quem o autor travara amizade quando em Alexandria, de que maneira as experiências mecânicas podem dilatar o conhecimento geométrico, o que comprova claramente a existência das teorias “a priori” e “a posteriori”. Esse ensaio pôs fim ao reino da régua e do compasso de Platão e abriu as portas aos métodos experimentais, revelando as diversidades dos métodos entre a religião e a ciência, com a primeira tolerando as teorias “a posteriori” por respeito à compreensão, e a segunda tolerando as teorias “a priori” por respeito à percepção, com aquela sendo a fonte desta.

A COLEÇÃO DE LEMAS

  • Que discute quinze “escolhas” ou hipóteses alternativas, na geometria plana.

A MEDIÇÃO DE UM CÍRCULO

  • Que chega a um valor entre 3 1/7 e 3 10/71 para o pi, isto é, para a relação entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, e “quadra o círculo”, demonstrando que a área de um círculo equivale à de um triângulo retângulo, cuja perpendicular é igual ao raio e cuja base é igual à circunferência do círculo.

A QUADRATURA DA PARÁBOLA

  • Que estuda, pelo cálculo integral, a área da parábola e o problema de encontrar a área da elipse.

DAS ESPIRAIS

  • Que define a espiral como a figura descrita por um ponto que se move de um ponto fixo de modo uniforme ao longo de uma linha reta, a qual gira em um plano também uniforme ao redor do mesmo ponto fixo, e por métodos que se aproximam dos do cálculo diferencial encontra a área circunscrita por uma curva espiral e dois raios vetores.

A ESFERA E O CILINDRO

  • Que procura fórmulas para o volume e a área da superfície da pirâmide, do cone, do cilindro e da esfera.

OS CONOIDES E AS ESFEROIDES

  • Que estuda os sólidos gerados pela revolução dita, em cujo estudo ele afirma, no dialeto dórico de Siracusa: “Dê-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo”.

Com relação a este último tratado, Hierão II o desafiou a realizar uma façanha parecida, apontando para a dificuldade com que os seus homens lutavam para arrastar para a praia um grande navio da esquadra. Arquimedes dispôs uma série de roldanas com tal engenho, que ele sozinho, sentado em um dos extremos do mecanismo, pôs a seco o pesado navio. Nota-se aqui claramente o poder criativo do intelectual cientista.

Entusiasmado com a sua demonstração, pediu o rei a Arquimedes que lhe desenhasse alguns instrumentos bélicos. É algo que caracteriza bem os dois homens virtuosos o fato do cientista, após feitos os desenhos, esquecê-los, e do rei, amigo da paz, nunca os ter utilizado. Admirado com o espírito de Arquimedes, Plutarco diz o seguinte:

Tinha o espírito tão elevado, a alma tão profunda e dispunha de tais tesouros de sabedoria, que embora essas invenções lhe houvessem granjeado fama de sagacidade extra-humana, nem assim se dignou a deixar qualquer escrito sobre elas; mas, repudiando como sórdida e ignóbil toda espécie de arte que se presta a fins e lucros mesquinhos, localizou o seu interesse e ambição em pesquisas mais puras, sem a imediata relação com as vulgares necessidades da vida, estudos cuja superioridade sobre todos os outros fosse indiscutível, e nos quais a única dúvida iria ser sobre o que mais nos mereceria a admiração: a grandiosidade dos temas examinados, ou a precisão e força dos métodos e processos de prova”.

Mas depois que Hierão II desencarnou, Siracusa se desentendeu com Roma, e então o general Marco Cláudio Marcelo a atacou por mar e terra. Embora Arquimedes já fosse um velho de setenta e cinco anos, chefiou a defesa em ambas as frentes. Por trás das muralhas protetoras do porto armou catapultas capazes de arremessar a grandes distâncias pedras pesadíssimas, com a chuva de pedras lançadas sendo tão devastadora que o general romano se retirou, aguardando a noite para uma nova investida. Mas quando os navios apontaram no porto, os tripulantes foram vítimas de uma saraivada de flechas, partidas de orifícios feitos em toda a extensão das muralhas por ordem de Arquimedes. Além disso, o cientista dispusera por trás dos muros grandes guindastes que, manobrados por manivelas e roldanas, deixavam cair sobre os navios inimigos enormes pesos de pedra e chumbo, que os punham a pique. Outros guindastes, munidos de enormes ganchos, agarravam os navios, erguiam-nos no ar e os lançavam de encontro às rochas, ou os afundavam. O general romano bateu em retirada, colocando as suas esperanças no ataque por terra, mas Arquimedes bombardeou as tropas romanas com grandes pedras arremessadas pelas catapultas, e com tal êxito que os romanos fugiram, dizendo que tal resistência só podia vir de deuses, recusando-se a fazer novas investidas. Vejamos o que disse Políbio sobre esses fatos:

Eis a que maravilhas de grandiosidade pode chegar o gênio de um homem, quando bem aplicado. Os romanos, tão fortes em terra como no mar, teriam todas as chances de capturar a cidade de um só golpe, se um velho de Siracusa deixasse a cidade, mas enquanto ele lá permanecesse, não se arriscariam a atacar”.

Assim, abandonando a ideia de tomar Siracusa de assalto, Marco Cláudio Marcelo se contentou com um lento bloqueio. Depois de um cerco de oito meses a cidade esfomeada se rendeu. Na matança que se seguiu, o general romano deu ordem aos soldados para que nada fizessem a Arquimedes, mas como visto, um deles não obedeceu, desencarnando-o. Quando Marco Cláudio Marcelo soube do fato, lamentou-se sinceramente e fez todo o possível para consolar os parentes do cientista, erigindo também em sua memória um belo túmulo no qual mandou gravar, de acordo com o desejo do grande inventor, uma esfera dentro de um cilindro, pois ele havia descoberto e provado que a esfera tem exatamente dois terços do volume e da área da superfície do cilindro a ela circunscrito, incluindo as bases do último, pois haver encontrado as fórmulas para os cálculos dessas figuras fôra a suprema realização da sua vida, segundo ele próprio. E tinha razão, pois acrescentar uma proposição de valor à geometria quer dizer mais para a humanidade do que defender uma cidade. Foram justamente estas gravuras que Cícero encontrou ao visitar o seu túmulo.

Entre as suas contribuições à Física, estão as fundações da hidrostática e da estática, tendo descoberto o princípio do empuxo e o princípio da alavanca, além de muitas outros. Ele inventou ainda vários tipos de máquinas para usos civil e militar, incluindo armas de cerco e a bomba de parafuso que leva o seu nome. Experimentos modernos testaram as alegações de que para defender a sua cidade, Arquimedes projetou máquinas capazes de levantar navios inimigos para fora da água e os colocar em chamas utilizando um conjunto de espelhos.

Ele utilizou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola usando a soma de uma série considerada matematicamente como sendo infinita, e, também, encontrou uma aproximação bastante acurada do número pi. Também descobriu a espiral que leva o seu nome, fórmulas para os volumes de sólidos de revolução e um engenhoso sistema para expressar números muito grandes. A sua engenhosidade intelectual teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado grandes nomes da religião e da ciência posteriores, como Galileu Galilei, Christiaan Huygens, Isaac Newton, dentre outros.

A curiosidade mais conhecida sobre Arquimedes conta como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma irregular. De acordo com Vitrúvio, uma coroa votiva tinha sido feita para o rei Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para ser utilizado, e Arquimedes foi encarregado para determinar se alguma prata tinha sido utilizada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto ferreiro. O cientista tinha que resolver o problema sem danificar a coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um corpo de formato regular, a fim de encontrar o seu volume para calcular a sua densidade. Enquanto tomava um banho, ele percebeu que o nível da água na banheira subia enquanto ele entrava, e, também, percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa. Para efeitos práticos, a água é incompressível, assim a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da coroa pelo volume de água deslocada, a densidade da coroa podia ser obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais baratos e menos densos tivessem sido adicionados. Arquimedes teria ficado tão entusiasmado com a sua descoberta que teria esquecido de se vestir e saído gritando pelas ruas: Eureka! Eureka!; que em grego significa encontrei. O teste foi realizado com sucesso, provando que a prata havia realmente sido misturada.

A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes. Além disso, a praticidade do método tem sido posta em dúvida, devido a extrema acurácia com que teria que se medir o deslocamento de água. Com base nisso, os estudiosos consideram que o cientista pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido em hidrostática como o princípio de Arquimedes, que ele descreveu em seu tratado Sobre os Corpos Flutuantes. Este princípio afirma que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca. Usando este princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro e prata com a de ouro maciço, equilibrando-se a coroa em uma balança de braços iguais com uma amostra de ouro, e então se imergindo o aparato na água. Se a coroa fosse menos densa que o ouro, ela deslocaria mais água, devido aos seu maior volume, e assim experimentaria uma força de empuxo maior do que a amostra de ouro. Essa diferença de empuxo causaria a balança a se inclinar de acordo. Galileu Galilei assim se expressou sobre o fato:

É provável que esse método seja o mesmo que Arquimedes seguiu, uma vez que, além de ser bastante acurado, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes”.

Em um texto do século XII, intitulado de Mappae Clavicula, há instruções detalhadas sobre como realizar as pesagens dentro da água com o fim de calcular a porcentagem de prata utilizada, e assim resolver o problema. Além disso, o poema latino Carmen de Ponderibus et Mensuris, do século IV ou V d.C., descreve a utilização de uma balança hidrostática para solucionar o problema da coroa, e atribui esse método a Arquimedes.

Grande parte dos trabalhos de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades da sua terra natal, Siracusa. O escritor grego Ateneu de Náucratis descreveu como o rei Hierão II encarregou o cientista de projetar um grande barco, o Siracusia, que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de suprimentos e como um navio de guerra. É dito que o Siracusia foi o maior navio construído na Antiguidade Clássica. De acordo com Ateneu de Náucratis, ele era capaz de carregar seiscentas pessoas e nele havia jardins decorativos e um templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações. Uma vez que um navio de tal porte deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover a água da sentina. Esta máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro, que era girada com a mão, e, também, podia ser utilizada para transportar água de um corpo de água baixo até os canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes ainda hoje é utilizado para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. E tal como descrito por Vitrúvio, pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.

A garra de Arquimedes é uma arma supostamente projetada por Arquimedes a fim de defender a cidade de Siracusa. Também conhecida como sacudidora de navios, a garra consistia em um braço de guindaste a partir do qual pendia um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um navio inimigo, o braço era utilizado para balançar e levantar o navio para fora da água. Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da garra, e em 2005 um documentário de televisão intitulado de Superarmas do Mundo Antigo construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo viável.

Luciano de Samósata, escritor do século II, escreveu que durante o cerco a Siracusa, Arquimedes destruiu os navios inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Trales menciona espelhos ustórios, que queima, como a arma utilizada por Arquimedes. O dispositivo algumas vezes denominado de raio de calor de Arquimedes ou raio solar de Arquimedes, teria sido utilizado para concentrar a luz solar em navios inimigos que se aproximavam, levando-os a pegar fogo.

A credibilidade desta história tem sido objeto de debates desde o Renascimento. Descartes a considerou falsa, enquanto pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito utilizando apenas os meios que estavam disponíveis ao cientista. Foi sugerido que uma grande quantidade de escudos bem polidos de bronze ou cobre atuando como espelhos poderiam ter sido utilizados para concentrar a luz solar em um navio. Poderia se ter utilizado o princípio do refletor parabólico de maneira similar a um forno solar de alta temperatura. Um teste do raio de calor de Arquimedes foi idealizado em 1973 pelo cientista grego Loannis Sakkas. O experimento foi realizado na base naval de Skaramangas, nos arredores de Atenas. Nesta ocasião, 70 espelhos foram utilizados, cada um com um revestimento de cobre e com um tamanho de aproximadamente 1,5 por 1 m. Os espelhos foram apontados para uma réplica de um navio romano, feita de madeira compensada, a uma distância de aproximadamente 50 metros. Quando os espelhos foram enfocados com precisão, o navio irrompeu em chamas em questão de poucos segundos. Mas o navio de madeira compensada era revestido por tinta de betume, o que pode ter facilitado a combustão.

Em outubro de 2005, um grupo de estudantes do MIT – Massachusetts Institute of Technology conduziu um experimento com 127 espelhos quadrados com lados de 30 cm, focados em uma maquete de navio de madeira a uma distância de cerca de 30 cm. Chamas surgiram em uma parte do navio, mas só depois do céu estar sem nuvens e o navio ter permanecido estacionário por cerca de dez minutos. Concluiu-se então que o dispositivo era uma arma viável nessas condições. Esse grupo repetiu a experiência para o programa de televisão Myth Buster, utilizando um barco pesqueiro de madeira em São Francisco como alvo. Novamente uma carbonização ocorreu, juntamente com uma pequena quantidade de chamas. Para pegar fogo, a madeira precisa atingir a sua temperatura de autoignição, que é cerca de 300º C. Quando o Myth Buster transmitiu o resultado do experimento de São Francisco, em janeiro de 2006, a afirmação foi categorizada como falsa, um “mito detonado”, devido à duração de tempo e as condições climáticas ideais necessárias para a combustão ocorrer. Também foi salientado que, como Siracusa vê o mar ao leste, a frota romana teria de ter atacado durante a manhã para um ótimo acúmulo de luz se utilizando os espelhos. O Myth Buster ainda salientou que armamentos convencionais, como flechas em chamas ou catapultas, seriam as maneiras muito mais fáceis de incendiar um navio a curta distância. Em dezembro de 2010, o Myth Buster olhou novamente para a história do raio de calor em uma edição especial com Barack Obama em destaque, intitulada de President’s Challenge, O Desafio do Presidente. Vários experimentos foram realizados, incluindo um teste em larga escala com 500 crianças de uma escola mirando espelhos em uma maquete de um barco romano a 120 metros de distância. Em todos os experimentos, a vela não alcançou os 210º C necessários para que pegasse fogo, e o veredito foi novamente o de “mito detonado”. O programa concluiu que um efeito mais provável dos espelhos teria sido cegar, ofuscar ou distrair a tripulação dos navios. No entanto, não se pode negar o registro histórico acerca do fato.

Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca, ele forneceu uma explicação desse princípio, que está contido em sua obra intitulada de Sobre o Equilíbrio dos Planos. São conhecidas descrições anteriores pela Escola Peripatética dos seguidores de Aristóteles, que às vezes são atribuídas a Arquitas de Tarento. De acordo com Pappus de Alexandria, o trabalho de Arquimedes sobre as alavancas fez com que ele exclamasse: “Deem-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo”. Plutarco descreveu como Arquimedes projetou sistemas de roldanas permitindo aos marinheiros a utilização do princípio da alavanca para levantar objetos que teriam sido demasiados pesados para serem movidos de outra maneira. O cientista foi também creditado pelo aumento do poder da catapulta e por inventar o hodômetro durante a Primeira Guerra Púnica. O hodômetro foi descrito como sendo um carrinho com um mecanismo de engrenagens que a cada milha percorrida derrubava uma bola em um recipiente.

Cícero menciona Arquimedes brevemente em seu diálogo A República, que narra uma conversa fictícia e diz que, após a captura de Siracusa, o general Marco Cláudio Marcelo levou para Roma dois mecanismos usados como ferramentas para estudos astronômicos, os quais mostravam os movimentos do Sol, da Lua e de cinco planetas. Cícero também menciona mecanismos similares projetados por Tales de Mileto e Eudoxo de Cnido. O diálogo conta que o general romano manteve um dos dispositivos como a sua única pilhagem pessoal de Siracusa, doando o outro para o Templo da Virtude, em Roma. De acordo com Cícero, Caio Sulpício Galo fez uma demonstração do mecanismo de Marco Cláudio Marcelo para Lúcio Fúrio Filão, que o descreveu da seguinte maneira:

Quando Galo moveu o globo, ocorreu que a Lua seguiu o Sol tantas voltas nessa invenção de bronze como no próprio céu, a partir do qual também no céu o globo do Sol passou a ter o mesmo eclipse, e a Lua veio então para essa posição em que estava a sua sombra sobre a Terra quando o Sol estava alinhado”.

Esta é a descrição de um planetário ou aparelho de Orrery. Pappus de Alexandria disse que Arquimedes escreveu um manuscrito, hoje perdido, sobre a construção destes mecanismos, que foi intitulado de Sobre a Construção de Esferas. Investigação moderna nesta área tem sido focada no mecanismo de Anticítera, outro dispositivo da antiguidade clássica, que provavelmente foi utilizado com a mesma finalidade. A construção de mecanismos deste tipo teria exigido um conhecimento aprofundado de engrenagens diferenciais. Pensava-se que isto estivesse fora do alcance da tecnologia disponível nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Anticítera, em 1902, confirmou que dispositivos desse tipo já eram conhecidos dos gregos antigos.

Embora seja popularmente mais conhecido como um inventor de dispositivos mecânicos, Arquimedes fez também importantes contribuições para o campo da Matemática, pois como Plutarco assim escreveu:

Ele colocou todo o seu afeto e ambição nessas especulações puras onde não há referência às necessidades vulgares da vida”.

Assim, ele foi capaz de usar infinitesimais de uma maneira que é semelhante ao moderno cálculo integral, e frequentemente se diz que é muito provável que se os gregos antigos possuíssem uma notação matemática mais apropriada, tais como um sistema numérico posicional e notação algébrica, ele teria inventado, então, o cálculo.

Através de provas por contradição, ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos, especificando os limites entre os quais se encontrava a resposta correta. Esta técnica é conhecida como o método da exaustão, e ele o empregou para aproximar o valor do pi. Ele conseguiu isso desenhando um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo. Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos dos seus lados, pois sabendo o comprimento dos lados de um polígono regular de n lados, Arquimedes sabia como calcular o comprimento dos lados de um polígono regular de 2n lados e mesmo o raio, e mostrou que o valor de pi está entre 3 1/7, aproximadamente 3,1429, e 3 10/71, aproximadamente 3,1408, consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416. Ele também mostrou que a área de um círculo é igual ao pi multiplicado pelo quadrado do raio do círculo.

Em Sobre a Esfera e o Cilindro, além dos resultados principais, Arquimedes postulou que qualquer grandeza quando adicionada a ela mesma suficientes vezes excederá a qualquer grandeza dada. Este é o axioma de Arquimedes dos números reais. Um dos lemas utilizados pelo cientista em seu resultado sobre a área da superfície esférica é agora visto como sendo um caso especial do teorema de Duistermaat-Heckman em geometria simplética, descoberto dois milênios após Arquimedes.

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre 265/153, aproximadamente 1,7320261, e 1.351/780, aproximadamente 1,7320512, sendo que o valor real é de aproximadamente 1,7320508, o que comprova uma estimativa muito precisa. Os historiadores levantaram muitas hipóteses sobre qual o método ele poderia ter utilizado para chegar a este resultado, dentre elas um possível conhecimento de frações continuadas, uma variante do método de Diofanto, e até mesmo a tentativa e erro. No entanto, o tema permanece controverso, pois ele apresentou o resultado sem fornecer qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar o seguinte:

“… como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos da sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo do seu método de pesquisa, ao mesmo tempo que desejava dela extrair o consentimento com os seus resultados”.

Conforme demonstrado por Arquimedes, a área do segmento parabólico na figura abaixo é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura mais abaixo.

Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado nas figuras acima. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica considerada como sendo infinita, com a razão comum de 1/4:

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos, cujas bases são as duas linhas secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …, cujo resultado é 4/3.

Em o Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o Universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a ideia de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Referindo-se ao rei Gelão II, filho de Hierão II, ele assim escreveu:

Existem alguns, o rei Gelão, que pensam que o número de grãos de areia é infinito em multitude, e eu me refiro a areia não só a que existe em Siracusa  e no resto da Sicília, mas também a que é encontrada em qualquer região, seja habitada ou inabitada”.

Para resolver o problema, o cientista teve que estimar o tamanho do universo de acordo com o modelo então vigente, e inventar uma maneira de falar a respeito de números extremamente grandes. Assim, ele inventou uma forma de escrever números baseada na miríade, palavra grega que corresponde ao número 10.000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma miríade elevada a uma miríade, cem milhões, e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o Universo seria de 8 vigintilhões.

Como se pode claramente constatar, nem o espírito religioso de Euclides conseguiu adentrar nas especulações acerca da verdade, e nem o espírito científico de Arquimedes conseguiu penetrar nas hipóteses acerca da sabedoria, uma vez que ambos teriam ainda que galgar patamares mais elevados na escala da evolução espiritual para poderem alcançar a tais desideratos.

Há ainda outros grandes nomes que tentaram alavancar os conhecimentos religiosos e as experiências científicas, como Aristarco, Hiparco, Estrabão, Eudoxo de Cnido, Apolônio de Perga e tantos outros. Há que se fazer um estudo mais acurado para se constatar se alguns dos grandes espíritos considerados como sendo religiosos ou cientistas não foram, na realidade, os precursores das religiões e das ciências, na qualidade de veritólogos e saperólogos, respectivamente, tais como os foram Tales de Mileto e Aristóteles.

 

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